Le problème de Bâle

Une brillante illustration du problème de Bâle

Rappel historique

Le problème de Bâle (ou Basel Problem) a longtemps résisté aux mathématiciens. Il consiste à déterminer la somme de la série :

\[\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}+ \dotsb \frac{1}{n^2} + \dotsb\]

Cette série converge lentement (pour obtenir \(4\) décimales exactes il faut calculer la somme de plus de \(15\,000\) des premiers termes) ce qui a rendu difficile l’identification de sa valeur exacte.

C’est le mathématicien suisse Leonhard Euler qui en donna la valeur (et une démonstration rigoureuse) en 1741. Celle-ci vaut

\[\frac{\pi^2}{6}\]

On peut remarquer que cette série est également reliée à la fonction \(\zeta\) de Riemann puisque

\[\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}+ \dotsb \frac{1}{n^2} + \dotsb = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\zeta(2)\]

Cette vidéo donne une interprétation géométrique de ce résultat.

Pour débuter l’analogie physique, l’auteur imagine des sources lumineuses placées sur l’axe réel (ici des phares) aux point d’abscisse entière et un observateur situé à l’origine.

La brillance totale perçue par l’observateur et générée par ce dispositif s’apparente à la somme \(\zeta(2)\) (la contribution de chaque source étant évaluée en termes de surface - en fait d’intersection d’un angle solide avec une surface représentant l’observateur et se développant dans la direction perpendiculaire à celle de propagation lumineuse - celle-ci est inversement proportionnelle au carré de la distance séparant source et observateur).

Une fois l’analogie établie l’auteur invoque deux théorèmes géométriques (le théorème de Pythagore inverse et celui de l’angle inscrit) pour décomposer la brillance dûe à une unique source en un nombre croissant d’autres placées à égale distance sur des cercles de rayons doublant sans cesse et approchant ainsi « idéalement » une droite.